评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一步将原函数通分得到 \(\frac{x^2 + x - \sin x}{x \sin x}\) 是正确的。但在后续求极限时，学生使用了洛必达法则：先化为 \(\frac{x^2 + x - \sin x}{x^2}\)，然后求导得 \(\frac{2x + 1 - \cos x}{2x}\)，再求导得 \(\frac{2 + \sin x}{2}\)，最后代入 \(x \to 0\) 得 1。虽然最终结果正确，但第一步通分后分母为 \(x \sin x\)，直接替换为 \(x^2\) 需要说明等价无穷小替换 \(\sin x \sim x\)，而学生未明确说明，但整体思路和计算正确，因此不扣分。得 5 分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第二步计算 \(f(x) - a\) 与 \(x^k\) 的比值的极限。学生将 \(f(x) - 1\) 化为 \(\frac{x^2 + x - \sin x - x \sin x}{x \sin x}\)，然后分子因式分解为 \((x + 1)(x - \sin x)\)，分母等价为 \(x^{k+2}\)，再代入 \(x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3\)，得到极限为 \(\frac{\frac{1}{6}x^3}{x^{k+2}}\)，最后令 \(k+2 = 3\) 得 \(k = 1\)。思路和计算完全正确，得 5 分。

题目总分：5+5=10分