评分及理由

（1）一阶偏导数计算（满分2分）

学生正确计算了 \( f_x'(x,y) = (1-x^2)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \) 和 \( f_y'(x,y) = -xye^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \)，与标准答案一致。得2分。

（2）驻点求解（满分2分）

学生正确解出驻点为 \((1,0)\) 和 \((-1,0)\)，与标准答案一致。得2分。

（3）二阶偏导数计算（满分2分）

学生计算了 \( f_{xx}'' = (-3x+x^3)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \)，这与标准答案 \( x(x^2-3)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \) 等价；\( f_{xy}'' = (x^2y-y)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \) 与标准答案 \( -y(1-x^2)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \) 等价；\( f_{yy}'' = (xy^2-x)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \) 与标准答案 \( x(y^2-1)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \) 等价。虽然形式略有不同，但数学上等价，思路正确。得2分。

（4）极值判定（满分4分）

学生在 \((1,0)\) 点：正确计算 \( A = -2e^{-1/2} < 0 \)，\( B = 0 \)，\( C = -e^{-1/2} \)，得到 \( AC-B^2 = 2e^{-1} > 0 \)，判定为极大值点，极大值正确。在 \((-1,0)\) 点：正确计算 \( A = 2e^{-1/2} > 0 \)，\( B = 0 \)，\( C = e^{-1/2} \)，得到 \( AC-B^2 = 2e^{-1} > 0 \)，判定为极小值点，极小值正确。虽然学生使用了 \( AC-B^2 \) 而非标准答案的 \( B^2-AC \)，但判别逻辑正确（\( AC-B^2 > 0 \) 且 \( A>0 \) 为极小，\( A<0 \) 为极大）。得4分。

题目总分：2+2+2+4=10分