评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确推导出 a = -1，且使用了正确的秩条件 r(A) = r(A^T A) = 2。初等行变换过程正确，得到 a + 1 = 0。因此该部分得满分 5 分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了 A^T A 矩阵，并求出了特征值 0, 2, 6。特征向量的求解和单位化过程基本正确，但在构造正交矩阵 Q 时，第二列特征向量的符号与标准答案不一致（学生为 (1, -1, 0)^T，标准答案为 (-1, 1, 0)^T），但这不影响正交性，属于等价表达。然而，学生在最后的标准形表达中写成了 [0, 2, 6] 的形式，这是不规范的，应直接写出 2y₂² + 6y₃²。考虑到核心步骤正确，仅扣 1 分。因此该部分得 4 分。

题目总分：5+4=9分