评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

第1次识别中，函数定义有误：应为 \(f(x) = x^n + x^{n-1} + \cdots + x - 1\)，但学生写作 \(f(x_n) = x^n + \cdots + x + 1\)（多了一个+1），这是关键错误。不过第2次识别已修正为正确形式 \(f(x) = x^n + \cdots + x - 1\)。根据"两次识别中一次正确不扣分"原则，此处不扣分。

零点定理应用：两次识别均正确计算 \(f(1/2)<0\) 和 \(f(1)>0\)，并说明函数单调递增（导数>0），从而证明存在唯一实根。逻辑完整正确。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

学生利用等比数列求和公式得到 \(f(x_n) = \frac{x_n(1-x_n^n)}{1-x_n} - 1 = 0\)，这是正确的。

在求极限时，学生直接写 \(\lim_{n\to\infty} \frac{x_n(1-x_n^n)}{1-x_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{1-x_n} = 1\)，这里存在逻辑跳跃。学生默认了 \(\lim_{n\to\infty} x_n^n = 0\)，但此时 \(x_n\) 尚未确定，这个假设需要证明。

学生提到"\(f(x)\)单调，故极限存在"，这个理由不充分，单调有界原理应该应用于数列 \(\{x_n\}\) 而非函数 \(f(x)\)。

虽然最终答案 \(\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{1}{2}\) 正确，但证明过程存在逻辑缺陷。

扣分：极限存在性证明不严谨扣1分，极限计算过程逻辑跳跃扣1分。

得分：3分

题目总分：5+3=8分