评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生通过计算行列式|AᵀA|=0得到a=-1，与标准答案一致，但计算过程存在多处错误：

• AᵀA的计算有误（第一行第三元素应为1-a，但标准答案为2）
• 行列式计算过程混乱，有多个不同的错误表达式
• 虽然最终得到了正确结果a=-1，但推导过程不严谨

考虑到最终答案正确，但过程存在较多错误，扣2分，得3分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确求出了特征值0,2,6，但在特征向量求解和正交变换构造中存在严重错误：

• 特征向量α₁=[-1,1,1]ᵀ错误（应为[-1,-1,1]ᵀ）
• 特征向量α₂=[-1,0,1]ᵀ错误（应为[-1,1,0]ᵀ）
• 特征向量α₃=[1,2,1]ᵀ错误（应为[1,1,2]ᵀ）
• 单位化后的正交矩阵Q构造错误，行列顺序混乱
• 标准形正确，但这是基于错误特征向量得到的巧合

虽然标准形正确，但特征向量和正交变换矩阵完全错误，扣4分，得1分。

题目总分：3+1=4分