评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生采用了与标准答案方法二类似的思路，即添加直线段并使用格林公式。具体步骤为：

• 正确添加了直线段 \(L_1: y=0, 0 \leq x \leq \pi\)，方向从 \((\pi,0)\) 到 \((0,0)\)（向左），与标准答案一致。
• 正确应用了格林公式，将原曲线积分转化为二重积分与直线段积分的组合，即 \(\int_L = \int_{L+L_1} - \int_{L_1}\)。
• 在计算二重积分 \(-\iint_D 4xy \, dxdy\) 时，正确设置了积分区域 \(D: 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \sin x\)，并正确计算了内层积分 \(\int_0^{\sin x} 4xy \, dy = 2x \sin^2 x\)。
• 在计算直线段积分 \(\int_{L_1} \sin 2x \, dx\) 时，正确得出结果为0（因为 \(\int_0^\pi \sin 2x \, dx = 0\)）。
• 但在最后一步计算 \(\int_0^\pi 2x \sin^2 x \, dx\) 时，错误地将 \(2x\) 提出为常数 \(2\pi\)，导致积分计算错误。正确计算应为 \(\int_0^\pi 2x \sin^2 x \, dx = \int_0^\pi x(1-\cos 2x) \, dx = \frac{\pi^2}{2}\)，因此原积分应为 \(-\frac{\pi^2}{2}\)，但学生得到 \(-\pi^2\)。

由于核心思路正确，但最终计算出现错误，扣2分。得分：8分。

题目总分：8分