评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \( e^{3x} - e^{x} - xe^{2x} \)。

分析：该方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，其通解结构应为对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。

已知三个解 \(y_1, y_2, y_3\)，通过分析可知：

• \(y_1 - y_3 = (e^{3x} - xe^{2x}) - (-xe^{2x}) = e^{3x}\)
• \(y_2 - y_3 = (e^{x} - xe^{2x}) - (-xe^{2x}) = e^{x}\)

因此 \(e^{3x}\) 和 \(e^{x}\) 是对应齐次方程的解，且线性无关，构成齐次通解的基础。

而 \(y_3 = -xe^{2x}\) 是非齐次方程的一个特解。

所以标准通解形式为：\(y = c_1e^{3x} + c_2e^{x} - xe^{2x}\) 或等价形式 \(y = c_1(e^{3x}-e^{x}) + c_2e^{x} - xe^{2x}\)。

学生答案 \(e^{3x} - e^{x} - xe^{2x}\) 相当于取 \(c_1 = 1, c_2 = 0\) 的一个特解，不是包含两个任意常数的通解。

扣分理由：没有写出包含两个独立任意常数的通解形式，不符合通解的定义。

得分：0分

题目总分：0分