评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"-1"。根据题意，已知条件为 \(a_{ij} + A_{ij} = 0\) 对所有 \(i,j=1,2,3\) 成立，其中 \(A_{ij}\) 是代数余子式。这等价于矩阵 \(A\) 的每个元素等于其代数余子式的相反数，即 \(A_{ij} = -a_{ij}\)。由代数余子式的性质，矩阵 \(A\) 的伴随矩阵 \(A^*\) 满足 \((A^*)_{ij} = A_{ji}\)，因此条件可写为 \(A^* = -A^T\)。两边取行列式，有 \(|A^*| = |-A^T|\)，即 \(|A|^2 = (-1)^3 |A|\)（因为3阶矩阵），所以 \(|A|^2 = -|A|\)，整理得 \(|A|(|A|+1)=0\)。由于 \(A\) 是非零矩阵，若 \(|A|=0\)，则 \(A^* = -A^T = O\)，但 \(A\) 非零时 \(A^*\) 可能为零（例如当 \(A\) 的秩为1时），但需要验证是否满足原条件。考虑具体例子：若 \(A\) 的秩为1，则 \(A^*=O\)，代入条件得 \(a_{ij}=0\)，与 \(A\) 非零矛盾。因此 \(|A| \neq 0\)，故 \(|A| = -1\)。学生答案正确，得4分。

题目总分：4分