评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确写出了S'(x)和S''(x)的表达式，在计算S''(x)-S(x)时，虽然写法与标准答案略有不同（将S(x)写成∑a_{n-2}x^{n-2}的形式），但通过合理的指标变换，最终得到了S''(x)-S(x)=∑[n(n-1)a_n - a_{n-2}]x^{n-2}，并利用已知递推关系证明了S''(x)-S(x)=0。证明过程完整且逻辑正确。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确求解微分方程S''(x)-S(x)=0，得到特征方程r²-1=0，求出特征根r=±1，写出通解形式S(x)=C₁e^x+C₂e^(-x)。然后利用初始条件S(0)=3和S'(0)=1建立方程组，正确解出C₁=2，C₂=1，最终得到S(x)=2e^x+e^(-x)。计算过程完整正确。

得分：5分

题目总分：5+5=10分