评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为"-1"，与标准答案一致。题目条件给出 $a_{ij} + A_{ij} = 0$，即 $A_{ij} = -a_{ij}$。根据代数余子式与伴随矩阵的关系，有 $A^* = (A_{ij})^T = -A^T$。又由 $AA^* = |A|I$，代入得 $A(-A^T) = |A|I$，即 $-AA^T = |A|I$。取行列式得 $-|A||A^T| = |A|^3$，即 $-|A|^2 = |A|^3$，整理得 $|A|^3 + |A|^2 = 0$，解得 $|A|^2(|A|+1)=0$。由于 $A$ 是非零矩阵，$|A|$ 可能为0或-1。但若 $|A|=0$，则 $A^* = 0$，与 $A_{ij} = -a_{ij}$ 且 $A$ 非零矛盾，故 $|A| = -1$。学生答案正确，得4分。

题目总分：4分