评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生通过展开二次型并整理成矩阵形式，正确得到了对应的矩阵为 \(2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T\)。虽然标准答案中写的是 \(2\alpha^{\top}\alpha+\beta^{\top}\beta\)，但 \(\alpha\alpha^T\) 与 \(\alpha^{\top}\alpha\) 是等价的（都是3×3矩阵），因此逻辑正确。但学生最后写的是 \(2\alpha\alpha^T+\beta\beta^T\)，而题目要求证明的是 \(2\alpha^{\top}\alpha+\beta^{\top}\beta\)，这里符号使用不一致，但由于实质相同，不视为错误。不过学生在矩阵展开过程中存在一些书写不规范（如混合使用了 \(a_1a_2\) 和 \(a_2a_1\)，但对称矩阵中不影响），整体思路和结果正确。考虑到第(1)问满分应为5.5分（因为总分11分，两问各占一半），扣1分以反映书写和符号不规范的问题。

得分：4.5分

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生正确构造了正交矩阵 \(Q = (\alpha, \beta, C)\)，其中 \(C\) 是与 \(\alpha, \beta\) 正交的单位向量，并计算了 \(Q^T A Q\)。在计算过程中，学生写出的中间步骤如 \((2\alpha^T\alpha\alpha^T+\alpha^T\beta\beta^T, 2\beta^T\alpha\alpha^T+\beta^T\beta\beta^T, 0)\) 虽然表达不够严谨（例如 \(\alpha^T\alpha\) 是标量，但这里应理解为矩阵乘法），但最终得到了正确的对角矩阵 \((2,1,0)\)，并得出标准形为 \(2y_1^2 + y_2^2\)。思路与标准答案不同但正确，不扣分。但学生在最后写“于经正交变换”应为“于是经正交变换”，属于识别错误，不扣分。整体逻辑正确，可得满分。

得分：5.5分

题目总分：4.5+5.5=10分