评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \( \frac{2n}{5} \)，而标准答案是 \( \frac{2}{5n} \)。

该题要求计算常数 \( c \)，使得 \( c\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \) 是 \( \theta^2 \) 的无偏估计。无偏估计要求 \( E\left[c\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right] = \theta^2 \)。

计算过程应为：先求 \( E(X^2) = \int_{\theta}^{2\theta} x^2 \cdot \frac{2x}{3\theta^2} dx = \frac{2}{3\theta^2} \int_{\theta}^{2\theta} x^3 dx = \frac{2}{3\theta^2} \cdot \frac{1}{4}(16\theta^4 - \theta^4) = \frac{2}{3\theta^2} \cdot \frac{15}{4}\theta^4 = \frac{5}{2}\theta^2 \)。

于是 \( E\left[\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right] = n \cdot \frac{5}{2}\theta^2 \)，所以 \( c \cdot \frac{5n}{2}\theta^2 = \theta^2 \)，解得 \( c = \frac{2}{5n} \)。

学生答案 \( \frac{2n}{5} \) 与正确结果互为倒数，存在明显的计算逻辑错误。由于这是填空题，答案错误即不得分。

得分：0分

题目总分：0分