评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，两次识别结果均正确完成了题目要求的求解过程：

• 正确计算了偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x}\)、\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\)、\(\frac{\partial z}{\partial y}\)、\(\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\)，并正确得到 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f'' e^{2x}\)。
• 正确代入已知方程，得到 \(f''(u) = 4f(u) + u\)，即 \(f''(u) - 4f(u) = u\)。
• 正确求解该二阶线性非齐次微分方程：齐次通解为 \(C_1 e^{2u} + C_2 e^{-2u}\)，特解为 \(-\frac{1}{4}u\)，通解为 \(f(u) = C_1 e^{2u} + C_2 e^{-2u} - \frac{1}{4}u\)。
• 正确利用初始条件 \(f(0)=0\)、\(f'(0)=0\) 建立方程组，解得 \(C_1 = \frac{1}{16}\)、\(C_2 = -\frac{1}{16}\)，最终得到 \(f(u) = \frac{1}{16}e^{2u} - \frac{1}{16}e^{-2u} - \frac{1}{4}u\)。

尽管第一次识别结果中在齐次通解部分误写为 \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\)（应为 \(e^{2u}\) 和 \(e^{-2u}\)），但后续计算中正确使用了 \(u\) 变量，且第二次识别结果完全正确，根据“误写不扣分”原则，不扣分。

最终答案与标准答案一致（标准答案为 \(-\frac{1}{16}(e^{-2u} - e^{2u}) - \frac{1}{4}u\)，等价于 \(\frac{1}{16}e^{2u} - \frac{1}{16}e^{-2u} - \frac{1}{4}u\)）。

因此，本题得分为10分。

题目总分：10分