评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确证明了$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。思路与标准答案方法二一致：由$\cos a_n - a_n = \cos b_n$得到$a_n = \cos a_n - \cos b_n > 0$，利用余弦函数在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减得到$a_n < b_n$，再由$\sum b_n$收敛得到$\lim b_n = 0$，从而$\lim a_n = 0$。证明逻辑完整正确。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

学生的证明存在严重逻辑错误。仅由$a_n < b_n$得到$\frac{a_n}{b_n} < 1$，这只能说明级数的一般项有界，但无法证明级数收敛。例如，$\frac{a_n}{b_n} = 1 - \frac{1}{n}$时，虽然每一项都小于1，但级数发散。学生没有进行必要的等价无穷小替换或比较判别法的应用，证明不完整。

得分：0分

题目总分：5+0=5分