评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分。学生作答中，思路与标准答案不同，但使用了二重积分方法建立体积关系，这是可行的。具体分析如下：

• 学生建立的方程是 \(10\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{x^{1/3}} y dy = \int_{0}^{a}dx\int_{0}^{x^{1/3}} x dy\)。
• 左边部分：\(\int_{0}^{x^{1/3}} y dy = \frac{1}{2} x^{2/3}\)，乘以10后为 \(5 \int_{0}^{a} x^{2/3} dx\)。
• 右边部分：\(\int_{0}^{x^{1/3}} x dy = x \cdot x^{1/3} = x^{4/3}\)，所以右边为 \(\int_{0}^{a} x^{4/3} dx\)。
• 因此方程化为 \(5 \int_{0}^{a} x^{2/3} dx = \int_{0}^{a} x^{4/3} dx\)。
• 计算积分：\(\int_{0}^{a} x^{2/3} dx = \frac{3}{5} a^{5/3}\)，\(\int_{0}^{a} x^{4/3} dx = \frac{3}{7} a^{7/3}\)。
• 代入得 \(5 \cdot \frac{3}{5} a^{5/3} = \frac{3}{7} a^{7/3}\)，即 \(3 a^{5/3} = \frac{3}{7} a^{7/3}\)。
• 化简得 \(a^{2/3} = 7\)，所以 \(a = 7^{3/2} = \sqrt{343}\)，这与标准答案 \(a = 7\sqrt{7}\) 等价（因为 \(7\sqrt{7} = \sqrt{7^3} = \sqrt{343}\)）。

学生的思路正确，计算过程无误，最终答案与标准答案等价。根据打分要求，思路正确不扣分，且最终结果正确，因此应给予满分。尽管方法不同，但这是允许的。

得分：10分

题目总分：10分