评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生正确计算了弧长。首先正确求导得到 \( y' = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2x} \)，然后代入弧长公式并正确化简被积函数为 \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2x} \)，最后积分计算得到正确结果 \( \frac{e^2 + 1}{4} \)。整个过程逻辑清晰，计算无误，因此得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生正确应用了形心横坐标公式 \( \overline{x} = \frac{\int_{1}^{e} x f(x) dx}{\int_{1}^{e} f(x) dx} \)，其中 \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\ln x \)。虽然学生写的是二重积分形式 \( \frac{\int_{1}^{e} dx \int_{0}^{y} x dy}{\int_{1}^{e} dx \int_{0}^{y} dy} \)，但这与标准答案的单积分形式等价。分子计算为 \( \int_{1}^{e} (\frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{2}x\ln x) dx \)，分母计算为 \( \int_{1}^{e} (\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\ln x) dx \)，最终得到正确结果 \( \frac{3(e^4 - 2e^2 - 3)}{4(e^3 - 7)} \)。思路正确，计算无误，因此得满分5.5分。

题目总分：5.5+5.5=11分