评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确写出二次型对应的矩阵形式，并得出矩阵为 \(2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T\)。虽然第一次识别中误写为 \(aa^T\) 和 \(\beta\beta^T\)（应为 \(\alpha\alpha^T\) 和 \(\beta\beta^T\)），但根据上下文可判断为识别错误，不扣分。证明过程完整，得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确设 \(A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T\)，利用正交单位向量条件得出 \(A\alpha = 2\alpha\) 和 \(A\beta = \beta\)，从而得到特征值2和1。进一步通过秩的条件得出0也是特征值，并给出标准形。思路和计算完全正确，得6分。

题目总分：5+6=11分