评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答使用了极坐标变换的方法，与标准答案的轮换对称性方法不同，但思路正确且最终结果正确。具体分析如下：

• 极坐标变换步骤正确：正确设定了积分区域 \(1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)，并将被积函数正确转换为极坐标形式。
• 分离变量步骤正确：将积分拆分为 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\theta}{\cos\theta+\sin\theta} d\theta\) 和 \(\int_{1}^{2} r \sin(\pi r) dr\) 的乘积，这一步在数学上是合理的，因为被积函数在极坐标下可以分离为关于 \(\theta\) 和 \(r\) 的函数的乘积。
• 计算 \(\int_{1}^{2} r \sin(\pi r) dr\) 时使用了分部积分法，过程正确，结果 \(-\frac{3}{\pi}\) 正确。
• 计算 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\theta}{\cos\theta+\sin\theta} d\theta\) 时，通过代数变形和换元法，得到结果 \(\frac{\pi}{4}\)，过程正确。
• 最终将两部分相乘得到 \(-\frac{3}{4}\)，与标准答案一致。

尽管方法与标准答案不同，但思路正确、计算无误，因此不扣分。

得分：10分

题目总分：10分