评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生正确推导出函数列的表达式 \(f_n(x) = \frac{x}{1+nx}\)，这一步与标准答案一致，得2分。

学生正确写出面积表达式 \(S_n = \int_0^1 \frac{x}{1+nx} dx\)，这一步与标准答案一致，得2分。

学生计算积分：\(\int_0^1 \frac{x}{1+nx} dx = \frac{1}{n}[x - \frac{\ln(1+nx)}{n}] \big|_0^1\)。这里存在逻辑错误。标准答案通过分子加减 \(\frac{1}{n}\) 的技巧进行积分，而学生给出的原函数形式 \(\frac{1}{n}[x - \frac{\ln(1+nx)}{n}]\) 是不正确的。对 \(\frac{1}{n}[x - \frac{\ln(1+nx)}{n}]\) 求导并不能得到被积函数 \(\frac{x}{1+nx}\)。这是一个关键的计算错误，但学生后续代入上下限的计算过程（尽管基于错误的原函数）在形式上与标准答案的最终结果 \(\frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \ln(1+n)\) 一致。考虑到积分计算的最终结果正确，且可能是书写或识别导致的表达式不规范（例如原函数可能意图表达为 \(\frac{1}{n} \int (1 - \frac{1}{1+nx}) dx\) 的结果），根据“误写不扣分”原则，此处不进行严重扣分，但原函数表达式不规范扣1分。此步骤得3分（满分4分）。

学生正确写出极限表达式 \(\lim_{n\to\infty} n S_n = \lim_{n\to\infty} [1 - \frac{\ln(1+n)}{n}]\)，并正确计算极限值为1，这一步与标准答案一致，得3分。

本部分得分小计：2 + 2 + 3 + 3 = 10分。

题目总分：10分