评分及理由

（1）得分及理由（满分2分）

学生正确求解了函数表达式 f(x,y)。由 ∂f/∂y = 2(y+1) 得到 f(x,y) = (y+1)² + φ(x)，再利用条件 f(y,y) 确定 φ(x) = -(2-x)ln x，最终得到 f(x,y) = (y+1)² - (2-x)ln x。这一步与标准答案完全一致，得2分。

（2）得分及理由（满分2分）

学生正确得到曲线方程 (y+1)² = (2-x)ln x，并正确确定积分区间 x ∈ [1,2]。这一步与标准答案一致，得2分。

（3）得分及理由（满分7分）

在体积计算部分，学生使用了圆筒壳法（柱壳法）的思路，写出的体积表达式为 V = 2π∫₁²dx∫₋₁ʸ(y+1)dy。虽然思路正确，但表达式存在逻辑错误：

• 正确使用圆筒壳法绕 y=-1 旋转时，体积应为 V = 2π∫₁²(x+1)[y(x)-(-1)]dx，其中 x+1 是旋转半径
• 但学生写的是 2π∫₁²dx∫₋₁ʸ(y+1)dy，这种写法在数学上不够严谨

不过，学生后续的计算过程是正确的：从 2π∫₁²[(y+1)²/2]dx 到 π∫₁²(2-x)ln x dx，最终积分结果正确得到 π(2ln2-5/4)。

考虑到：

• 思路基本正确（使用了旋转体体积的积分方法）
• 计算过程正确
• 最终结果正确
• 虽然有表达上的不严谨，但不影响最终结果

扣1分，得6分。

题目总分：2+2+6=10分