评分及理由

（1）换元步骤得分及理由（满分2分）

学生正确进行了换元：令 \( t = \sqrt{\frac{1+x}{x}} \)，并得到 \( x = \frac{1}{t^2-1} \)。此步骤与标准答案一致，得2分。

（2）分部积分步骤得分及理由（满分3分）

学生正确应用分部积分法：\( \int \ln(1+t) d\left(\frac{1}{t^2-1}\right) = \frac{\ln(1+t)}{t^2-1} - \int \frac{1}{t^2-1} \cdot \frac{1}{t+1} dt \)。此步骤与标准答案一致，得3分。

（3）部分分式分解步骤得分及理由（满分3分）

学生正确进行了部分分式分解：\( \frac{1}{(t^2-1)(t+1)} = \frac{1}{4(t-1)} - \frac{1}{4(t+1)} - \frac{1}{2(t+1)^2} \)，并正确积分得到 \( \frac{1}{4}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| + \frac{1}{2(t+1)} \)。此步骤与标准答案等价（标准答案为 \( \frac{1}{4}\ln|t-1| - \frac{1}{4}\ln|t+1| + \frac{1}{2(t+1)} \)），得3分。

（4）代回原变量步骤得分及理由（满分2分）

学生正确代回原变量得到最终结果：\( x\ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) - \frac{\sqrt{x}}{2(\sqrt{1+x}+\sqrt{x})} + C \)。此结果与标准答案完全一致，得2分。

题目总分：2+3+3+2=10分