评分及理由

（1）微分方程求解部分（满分4分）

学生作答中，第一次识别将原方程误写为 \(y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{2}{x^2} = 0\)，但第二次识别中明确指出原方程为 \(xy'' - y' + 2 = 0\)，并正确使用变量代换 \(p = y'\) 化为一阶线性方程 \(xp' - p + 2 = 0\)，进而通过积分因子法求解得到 \(y' = Cx + 2\)，再积分得通解 \(y = C_1x^2 + 2x + C_2\)。虽然第一次识别有误，但第二次识别完整且正确，且核心思路与标准答案一致，因此不扣分。得4分。

（2）确定常数部分（满分3分）

学生正确利用曲线过原点条件得到 \(C_2 = 0\)，并利用区域面积条件建立方程 \(\int_0^1 (C_1x^2 + 2x)dx = 2\)，计算积分得到 \(\frac{1}{3}C_1 + 1 = 2\)，解得 \(C_1 = 3\)，从而确定曲线方程为 \(y = 3x^2 + 2x\)。此部分过程完整正确，与标准答案一致。得3分。

（3）旋转体体积计算部分（满分3分）

学生正确使用柱壳法公式 \(V = 2\pi \int_0^1 x y dx\)，代入曲线方程后计算积分 \(2\pi \int_0^1 (3x^3 + 2x^2)dx\)，得到 \(2\pi \left[\frac{3}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3\right]_0^1 = 2\pi \cdot \frac{17}{12} = \frac{17\pi}{6}\)。计算过程和结果均正确。得3分。

题目总分：4+3+3=10分