评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生正确设切点为 \((x, f(x))\)，写出切线方程，并求出与 x 轴交点横坐标为 \(x - \frac{f(x)}{f'(x)}\)，这一步与标准答案一致，得 3 分。

（2）得分及理由（满分10分）

学生正确计算三角形面积 \(S = \frac{1}{2} f(x) \cdot \frac{f(x)}{f'(x)} = 4\)，并化简得到 \(\frac{f^2(x)}{2f'(x)} = 4\)，即 \(f^2(x) = 8f'(x)\)，这一步与标准答案等价（标准答案为 \(f'(x) = \frac{1}{8}f^2(x)\)），得 3 分。

（3）得分及理由（满分10分）

学生正确分离变量求解微分方程：由 \(f^2(x) = 8f'(x)\) 得 \(\frac{f'(x)}{f^2(x)} = \frac{1}{8}\)，积分得 \(-\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{8}x + C\)，代入初始条件 \(f(0) = 2\) 得 \(C = -\frac{1}{2}\)，解得 \(f(x) = -\frac{8}{x - 4}\)。但标准答案为 \(f(x) = \frac{8}{4 - x}\)，两者等价，因为 \(-\frac{8}{x - 4} = \frac{8}{4 - x}\)。因此这一步完全正确，得 4 分。

题目总分：3+3+4=10分