评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，第一次识别结果和第二次识别结果的核心内容一致，均正确计算了旋转体体积并求解了A的值。具体分析如下：

• 对于V₁的计算：学生正确使用了绕x轴旋转的体积公式 \(V_1 = \pi \int f^2(x)dx\)，虽然第一次识别中写成了 \(2\pi \iint y d\sigma\)，但实际计算时仍正确转化为 \(\pi \int A^2 \sin^2 x dx\)，并正确积分得到 \(\frac{\pi^2}{4}A^2\)。
• 对于V₂的计算：学生正确使用了绕y轴旋转的体积公式（柱壳法）\(V_2 = 2\pi \int x f(x) dx\)，虽然第一次识别中写成了 \(2\pi \iint x d\sigma\)，但实际计算时正确转化为 \(2\pi \int Ax\sin x dx\)，并通过分部积分正确得到 \(2A\pi\)。
• 在求解方程时，正确列出 \(\frac{\pi^2}{4}A^2 = 2A\pi\)，并解得 \(A = \frac{8}{\pi}\)。

虽然公式初始表述有轻微偏差（如使用二重积分符号），但实际计算过程完全正确，且最终答案与标准答案一致。根据评分要求中的"思路正确不扣分"原则，这些表述偏差不视为逻辑错误。因此给予满分10分。

题目总分：10分