评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分。学生作答中，首先正确写出切线方程并得到 \(x_0 = b - \frac{f(b)}{f'(b)}\)，这一步正确。然后利用泰勒展开在 \(x = b\) 处展开到二阶，并代入 \(x = a\)，得到 \(f(a) = f(b) + f'(b)(a - b) + \frac{f''(\xi)}{2}(a - b)^2 = 0\)，其中 \(\xi \in (b, a)\) 或 \((a, b)\)，但学生写的是 \(\xi \in (b, x)\)，这里存在逻辑错误，因为当 \(x = a\) 时，\(\xi\) 应在 \(a\) 和 \(b\) 之间，但学生未明确，且后续推导中使用了 \(f(b) + f'(b)(a - b) < 0\)，这依赖于 \(f''(\xi) > 0\) 和 \((a - b)^2 > 0\)，但学生未明确说明，导致推导不严谨。此外，学生最终得出 \(a < x_0 < b\)，但证明过程中存在逻辑跳跃，如从 \(f(b) + f'(b)(a - b) < 0\) 直接推出 \(0 < f(b) < f'(b)(b - a)\)，这一步缺少详细解释。总体思路正确，但逻辑不严谨，存在错误。根据标准答案，正确证明应使用拉格朗日中值定理，而学生使用泰勒展开，方法不同但可行，但执行有缺陷。扣分点：逻辑错误（泰勒展开使用不当，推导不严谨）。扣3分，得7分。

题目总分：7分