2025年合工大超越5+5套卷模拟试卷（一） - 第12题回答

首先，我需要理解题目。题目给出一个微分形式 \((axy + e^y)dx + (2x^2 + bxy e^y)dy\) 是某个函数 \(u(x, y)\) 的全微分，并且 \(u(0,0) = 0\)。然后，要求计算二重积分 \(\iint_D u(x, y) \, d\sigma\)，其中 \(D\) 是由 \(y = x^2\) 和 \(y = 1\) 所围区域位于第一象限部分。 由于微分形式是全微分，所以它应该满足恰当条件，即 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)，其中 \(P = axy + e^y\) 和 \(Q = 2x^2 + bxy e^y\)。 计算偏导数： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = a x + e^y \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 4x + b y e^y \] 令它们相等： \[ a x + e^y = 4x + b y e^y \] 这必须对所有 \(x, y\) 成立，所以比较系数： - 对于 \(x\) 项： \(a = 4\) - 对于 \(e^y\) 项： \(1 = b y\)？ 这不对，因为 \(b y e^y\) 与 \(e^y\) 比较，所以系数应为常数。所以，对于 \(e^y\) 项，左边是 \(e^y\)，右边是 \(b y e^y\)，所以 \(1 = b y\) 不可能对所有 \(y\) 成立。因此，我需要重新检查。 实际上，等式是： \[ a x + e^y = 4x + b y e^y \] 这必须对所有 \(x, y\) 成立。所以，对于 \(x\) 项： \(a = 4\)。 对于非 \(x\) 项，即 \(e^y\) 相关项：左边有 \(e^y\)，右边有 \(b y e^y\)。所以，系数必须匹配： \(1 = b y\)？ 但 \(b y\) 不是常数，所以这不可能，除非 \(b = 0\)，但那样右边为0，左边为 \(e^y\)，矛盾。 我可能漏掉了什么。或许 \(e^y\) 项在两边都有，但形式不同。左边有 \(e^y\)，右边有 \(b y e^y\)，所以为了相等，必...

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