评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答整体思路正确，但在积分过程中存在逻辑错误。具体分析如下：

• 第一步对 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 积分得到 \(f_x'(x,y)\) 时，学生写为 \(e^x(y+1)^2+\varphi(x)\)，而标准答案为 \((y^2+2y)e^x+\varphi(x)\)。虽然两者等价（因为 \((y+1)^2=y^2+2y+1\)），但学生后续代入 \(f_x'(x,0)\) 时，得到 \(e^x+\varphi(x)=(x+1)e^x\)，从而 \(\varphi(x)=xe^x\)。这里逻辑正确，不扣分。
• 第二步对 \(f_x'(x,y)\) 积分得到 \(f(x,y)\) 时，学生写为 \(e^x(y+1)^2 + e^x(x-1) + g(y)\)，而标准答案为 \((y^2+2y)e^x + xe^x + C\)。学生表达式可化简为 \(e^x(y^2+2y+1) + e^x(x-1) + g(y) = e^x(y^2+2y) + e^x x + g(y)\)，与标准答案形式一致，但学生积分过程中未正确处理常数项，而是引入了 \(g(y)\)，这属于方法差异，思路正确不扣分。
• 学生利用 \(f(0,y)=y^2+2y\) 求出 \(g(y)=0\)，最终得到 \(f(x,y)=e^x(y+1)^2 + e^x(x-1)\)，化简后与标准答案一致，计算正确。
• 求偏导找驻点时，学生正确求出偏导数并找到驻点 \((0,-1)\)，计算正确。
• 判断极值时，学生计算二阶偏导数 \(A=f_{xx}''(0,-1)=1\)，\(B=0\)，\(C=2\)，并正确计算 \(AC-B^2=2>0\) 且 \(A>0\)，得出极小值 \(f(0,-1)=-1\)，结果正确。

但在积分过程中，学生未严格按照标准答案的积分步骤，而是直接写出积分结果并引入 \(g(y)\)，虽最终结果正确，但步骤略显跳跃，存在轻微逻辑不严谨。根据打分要求，逻辑错误需扣分，但此处错误不影响最终结果，扣1分。

得分：10分

题目总分：10分