评分及理由

（1）求导过程得分及理由（满分2分）

学生正确计算了导数 \( f'(x) = (2x-1)\sqrt{1+x^2} \)，与标准答案一致。得2分。

（2）单调性分析得分及理由（满分2分）

学生正确分析了导数的符号，得出在 \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) 单调递减，在 \( (\frac{1}{2}, +\infty) \) 单调递增，与标准答案一致。得2分。

（3）极值点判断得分及理由（满分1分）

学生正确指出 \( x = \frac{1}{2} \) 是驻点，但未明确说明这是极小值点（尽管通过单调性可推断）。标准答案明确说明是最小值点。此处逻辑不够完整，扣0.5分。得0.5分。

（4）最小值符号判断得分及理由（满分2分）

学生通过 \( f(1) = 0 \) 和单调性得出 \( f(\frac{1}{2}) < 0 \)，但未像标准答案那样通过积分比较严格证明 \( f(\frac{1}{2}) < 0 \)。虽然结论正确，但论证不够严谨，扣1分。得1分。

（5）极限分析得分及理由（满分2分）

学生未分析 \( x \to -\infty \) 和 \( x \to +\infty \) 的极限，而是用 \( f(-1) > 0 \) 代替 \( x \to -\infty \) 的极限，用 \( f(1) = 0 \) 作为右区间零点。虽然最终零点个数正确，但未完整分析极限行为，扣1分。得1分。

（6）零点个数结论得分及理由（满分2分）

学生正确得出结论有2个零点，且通过介值定理和单调性论证了唯一性。得2分。

题目总分：2+2+0.5+1+1+2=8.5分