评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \((\pi - 1)dx - dy\)，与标准答案 \((\pi-1) d x-d y\) 完全一致。根据全微分计算公式，对函数 \(z=\arctan [x y+\sin (x+y)]\) 在点 \((0,\pi)\) 处求偏导： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1+[xy+\sin(x+y)]^2} \cdot (y + \cos(x+y)) \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1+[xy+\sin(x+y)]^2} \cdot (x + \cos(x+y)) \] 代入点 \((0,\pi)\) 得： \[ \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(0,\pi)} = \frac{1}{1+0} \cdot (\pi + \cos\pi) = \pi - 1 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(0,\pi)} = \frac{1}{1+0} \cdot (0 + \cos\pi) = -1 \] 因此全微分 \(dz = (\pi-1)dx - dy\)。学生答案完全正确，得满分4分。

题目总分：4分