评分及理由

（1）变量代换与雅可比行列式（满分2分）

学生正确进行了变量代换，令 \( u = x \), \( v = \frac{y}{x} \)，并正确计算了雅可比行列式 \( J = u \)。此处无错误，得2分。

（2）积分区域变换（满分2分）

学生正确确定了变换后的积分区域 \( D' = \{1 \leq u \leq 2, 0 \leq v \leq 1\} \)。此处无错误，得2分。

（3）积分计算（满分6分）

学生正确将原积分转换为 \( \iint_{D'} \sqrt{1 + v^2} \cdot u \, du \, dv \)，并分离变量计算：
- \( \int_1^2 u \, du = \frac{3}{2} \) 正确；
- \( \int_0^1 \sqrt{1 + v^2} \, dv \) 的计算公式正确，结果为 \( \frac{1}{2} \left[ \ln(v + \sqrt{1 + v^2}) + v \sqrt{1 + v^2} \right]_0^1 = \frac{\ln(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{2}}{2} \)；
- 最终结果 \( \frac{3(\ln(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{2})}{4} \) 与标准答案等价（标准答案为 \( \frac{3}{4} \sqrt{2} + \frac{3}{4} \ln(\sqrt{2} + 1) \)，展开后一致）。
此处无逻辑错误，得6分。

题目总分：2+2+6=10分