评分及理由

（1）得分及理由（满分0分）

第1次识别结果中，学生令 \(F(x)=(2-x)\int_{1}^{x}e^{t^{2}}dt\)，并正确指出 \(F(1)=0\)，\(F(2)=0\)，应用罗尔定理得到存在 \(\xi\in(1,2)\) 使 \(F'(\xi)=0\)。但在求导后的表达式中出现“\(\int_{1}^{\varphi}e^{t^{2}}dt - \int_{1}^{\varphi}e^{t^{2}}dt + (\varphi - \varphi)e^{\varphi^{2}} = 0\)”和“\(-\int_{1}^{\varphi}e^{t^{2}}dt = (\varphi - \varphi)e^{\varphi^{2}}\)”等明显逻辑错误（如 \((\varphi - \varphi)\) 为0），导致推导错误。第2次识别结果中，学生正确写出 \(F'(x)=-\int_{1}^{x}e^{t^{2}}dt+(2-x)e^{x^{2}}\)，并正确得出 \(F'(\xi)=0\) 即 \(\int_{1}^{\xi}e^{t^{2}}dt=(2-\xi)e^{\xi^{2}}\)，与标准答案法2一致。根据“两次识别只要有一次正确则不扣分”原则，且第2次识别完全正确，因此本题不扣分，得满分（假设满分与标准答案对应，通常此类证明题每小问满分5分，但题目未给出具体分值，这里按常见设置暂计5分）。

（2）得分及理由（满分0分）

第1次识别结果中，学生直接写出柯西中值定理形式 \(\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}=\frac{f'(\eta)}{g'(\eta)}\)，并正确推导出 \(f(2)=\ln 2\cdot\eta\cdot e^{\eta^{2}}\)，但未明确写出 \(g(x)=\ln x\) 及其导数（虽在上下文中隐含）。第2次识别结果中，学生完整写出 \(g(x)=\ln x\)，并详细应用柯西中值定理，推导过程与标准答案完全一致，无逻辑错误。根据“两次识别只要有一次正确则不扣分”原则，本题不扣分，得满分（同样暂计5分）。

题目总分：5+5=10分