2011年考研数学（一）考试试题 - 第18题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生使用泰勒展开法证明不等式，思路正确。对于右不等式 \(\ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)，通过泰勒展开得到 \(\ln(1+\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O(\frac{1}{n^3})\)，直接得出不等式成立，逻辑正确。对于左不等式 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n})\)，通过比较 \(e^{\frac{1}{n+1}} < 1+\frac{1}{n}\) 并取对数得到，方法有效。但证明过程中存在以下问题：

1. 在证明左不等式时，直接断言 \(e^{\frac{1}{n+1}} < 1+\frac{1}{n}\) 未给出严格证明（例如通过函数单调性或泰勒展开比较），缺乏严谨性。
2. 泰勒展开未说明余项的正负性，但在本问题中高阶项不影响不等式方向，故不视为严重错误。

综合而言，证明思路正确，但部分细节不够严谨。扣1分。

得分：4分

（2）得分及理由（满分5分）

学生未能正确证明数列收敛。主要错误包括：

1. 错误定义 \(S_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)，混淆了求和变量与极限变量。
2. 错误计算 \(\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)，误用极限与求和交换顺序（调和级数发散）。
3. 完全未涉及数列 \(a_n\) 的单调性和有界性分析，与标准答案的收敛性证明方法无关。

第二部分证明存在根本性逻辑错误，且未给出有效收敛性论证，故不得分。

得分：0分

题目总分：4+0=4分

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