评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题考查傅里叶余弦展开系数的计算及极限求解。标准答案为$-\frac{1}{\pi}$，学生给出的答案是$-\frac{1}{2}$。首先需要计算傅里叶系数$a_n$：函数$f(x)=x+1$在$[0,\pi]$上的余弦展开系数为$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (x+1)\cos nx\,dx$。通过分部积分可得$a_n=\frac{2}{\pi}\left[\frac{(-1)^n-1}{n^2}\right]$（$n\geq1$）。因此$a_{2n-1}=\frac{2}{\pi}\left[\frac{(-1)^{2n-1}-1}{(2n-1)^2}\right]=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{-2}{(2n-1)^2}=-\frac{4}{\pi(2n-1)^2}$。当$n\to\infty$时，$a_{2n-1}\to0$，利用等价无穷小替换$\sin a_{2n-1}\sim a_{2n-1}$，可得$n^2\sin a_{2n-1}\sim n^2\cdot\left[-\frac{4}{\pi(2n-1)^2}\right]\to -\frac{1}{\pi}$。学生答案$-\frac{1}{2}$与正确结果不符，说明在傅里叶系数计算或极限处理过程中存在逻辑错误，因此得0分。

题目总分：0分