评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( k(5,4,-4,0)^T \)，其中 \( k \) 为任意常数。标准答案是 \( k(1,1,-1,-1)^T + (1,0,0,4)^T \)。

首先，学生答案中缺少特解部分，只给出了齐次解的形式。根据题目条件 \( a_1 + a_2 = a_3 + a_4 \)，可得 \( a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0 \)，因此齐次方程 \( Ax = 0 \) 的一个非零解为 \( (1,1,-1,-1)^T \)。学生给出的齐次解 \( (5,4,-4,0)^T \) 并不是 \( Ax=0 \) 的解，因为代入 \( A(5,4,-4,0)^T = 5a_1 + 4a_2 -4a_3 \)，而根据线性关系，\( a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0 \) 并不能推出 \( 5a_1 + 4a_2 -4a_3 = 0 \)。因此，学生答案中的齐次解部分错误。

其次，学生答案中完全没有涉及非齐次方程的特解，而原方程 \( Ax = a_1 + 4a_4 \) 需要找到一个特解。标准答案中的 \( (1,0,0,4)^T \) 是一个特解，因为 \( A(1,0,0,4)^T = a_1 + 4a_4 \)。学生答案缺少这一部分。

由于学生答案在齐次解和特解两部分均存在根本性错误，且与标准答案完全不符，因此本题得0分。

题目总分：0分