评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答中使用了极坐标变换的方法，思路基本正确，但在计算过程中存在多处逻辑错误：

• 在第一次识别中，积分上下限写为\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\)，这显然是识别错误，但根据上下文应为\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)，属于误写不扣分。
• 在极坐标变换后，被积函数应为\((x-y)^2 = r^2(1-2\sin\theta\cos\theta)\)，但学生在计算时写成了\((r^2 - 2r^3\sin\theta\cos\theta)rdr\)，这导致被积函数多乘了一个\(r\)，即本应是\(r^2 \cdot r dr = r^3 dr\)，但学生写成了\((r^2 - 2r^3\sin\theta\cos\theta)rdr = r^3 - 2r^4\sin\theta\cos\theta dr\)，这是逻辑错误，导致后续积分计算全部错误。
• 在计算\(\int_{0}^{4\cos\theta} r^3 dr\)时，正确结果应为\(\frac{(4\cos\theta)^4}{4} = 64\cos^4\theta\)，但学生写成了\(4^3\cos^4\theta = 64\cos^4\theta\)，这里数值正确，但指数错误（应为\(r^4\)而非\(r^3\)），由于被积函数错误，此处不单独扣分。
• 在第二次识别中，学生尝试了另一种积分方式（使用\(r\)从0到\(4\sin\theta\)），但同样犯了被积函数错误的问题，且最终结果\(12\pi - \frac{112}{3}\)与标准答案\(12\pi - \frac{16}{3}\)不符。

由于核心逻辑错误（被积函数形式错误）导致整个计算过程偏离正确结果，但学生正确使用了极坐标变换和对称性，思路正确部分不扣分。根据错误严重程度，扣分6分。

得分：12 - 6 = 6分

题目总分：6分