评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是：2ex+e-2x。根据数学表达式书写规范，这应理解为 \( 2e^x + e^{-2x} \)。

标准答案为：\( e^{-2x} + 2e^x \)。

比较两者：

• 从函数形式上看，学生答案 \( 2e^x + e^{-2x} \) 与标准答案 \( e^{-2x} + 2e^x \) 是等价的，只是加法顺序不同。
• 该函数是微分方程 \( y'' + y' - 2y = 0 \) 的通解形式 \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x \) 的特解。
• 题目给出条件：在 \( x=0 \) 处取得极值3。极值条件意味着 \( y'(0) = 0 \)，同时 \( y(0) = 3 \)。
• 代入学生答案：\( y(0) = 2e^0 + e^0 = 2 + 1 = 3 \)，满足初始值。
• 求导：\( y' = 2e^x - 2e^{-2x} \)，则 \( y'(0) = 2 - 2 = 0 \)，满足极值条件。
• 因此学生答案满足原微分方程和全部定解条件，答案正确。

但是，学生答案书写为“2ex+e-2x”，在数学上通常应写作 \( 2e^x + e^{-2x} \)，虽然可理解，但指数符号不够规范（例如“ex”可能被误解为变量乘积）。不过，在填空题上下文中，这种表达通常被接受为正确，因为意思明确且计算结果无误。

因此，本题给满分4分。

题目总分：4分