评分及理由

（1）求导与代入过程（满分2分）

学生正确计算了 \(y_2(x)\) 的一阶和二阶导数，并代入原微分方程得到关于 \(\mu(x)\) 的方程 \((2x-1)\mu''+(2x-3)\mu'=0\)，与标准答案推导出的方程等价（标准答案为 \((2x-1)\mu''=(3-2x)\mu'\)，可化为学生形式）。此部分思路正确，计算无误，得2分。

（2）求解 \(\mu(x)\)（满分6分）

学生正确设 \(v=\mu'\) 将方程化为一阶线性方程，分离变量并积分得到 \(\mu'=C_1(2x-1)e^{-x}\)，积分得 \(\mu=C_1(-2x-1)e^{-x}+C_2\)。利用条件 \(\mu(0)=-1\) 和 \(\mu(-1)=e\) 解出 \(C_1=1, C_2=0\)，最终得到 \(\mu(x)=-(2x+1)e^{-x}\)。此部分计算过程完整正确，与标准答案一致（标准答案形式为 \(-2xe^{-x}-e^{-x}\)，等价于学生结果）。得6分。

（3）通解表达（满分2分）

学生得出 \(y_2(x)=-(2x+1)\)，这是错误的。正确应为 \(y_2(x)=\mu(x)e^x=-(2x+1)e^{-x} \cdot e^x = -(2x+1)\)，但学生在最后通解中写为 \(y=C_3e^x+C_4(2x+1)\)，缺少 \(e^{-x}\) 因子。标准通解应为 \(y=k_1e^x+k_2(-2x-1)e^{-x}\)。此部分存在逻辑错误，扣2分。

题目总分：2+6+0=8分