评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

该题要求学生求出曲线 \(y=x(1+\arcsin \frac{2}{x})\) 的斜渐近线方程。标准答案为 \(y=x+2\)。

学生给出的答案是 \(y=x\)，这相当于只求出了斜渐近线的斜率部分（\(k=1\)），但缺少了截距部分（\(b=2\)）。

根据斜渐近线的求解方法：

• 斜率 \(k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} (1+\arcsin \frac{2}{x}) = 1\)，学生可能正确得到了这一步
• 截距 \(b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} x\arcsin \frac{2}{x} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{2}{x} = 2\)，学生显然遗漏了这个关键计算

由于学生只给出了不完整的渐近线方程，缺少了正确的截距项，因此不能给满分。

考虑到学生可能正确求出了斜率部分，但完全遗漏了截距计算，属于严重的逻辑不完整，给1分。

题目总分：1分