评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答思路正确：识别出区域D关于y轴对称，从而利用对称性消去奇函数项（虽然第一次识别中写的是“x+2x为奇函数”，但结合上下文和第二次识别可判断是“2x为奇函数”的误写，不扣分），并将积分拆分为∬x²dxdy + ∬dxdy。极坐标变换正确，积分区域r≤2sinθ和θ∈[0,π]正确。

主要扣分点：

• 在计算∬x²dxdy时，第一次识别中写为∫₀^πdθ∫₀^(2sinθ)r³cos²θdr，但第二次识别中正确写为r²cos²θ·rdr = r³cos²θdr，这一步正确。
• 关键错误出现在三角函数的积分计算中：学生得到∫₀^πcos²θ·4sin⁴θdθ后，错误地写为2∫₀^(π/2)sin⁴θ(1-sin²θ)dθ（第一次识别）或2∫₀^πsin⁴θ(1-sin²θ)dθ（第二次识别），实际上应为∫₀^π4cos²θsin⁴θdθ。学生错误地使用了对称性和三角恒等式，导致后续计算完全错误。
• 计算定积分时，学生写为4∫₀^(π/2)(sin⁴θ - sin⁶θ)dθ，并错误地代入Wallis公式结果，得到9π/8，而正确结果应为π/4。
• 最终结果9π/8 + π = 17π/8 ≠ 5π/4，计算错误。

扣分：思路正确部分（对称性、极坐标变换）给4分，但核心计算错误（三角函数积分）导致结果错误，扣5分，最终得分为6分（按步骤分给分：对称性应用2分，极坐标设置2分，面积计算1分，三角函数积分思路1分，但执行错误）。

题目总分：6分