评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了一阶线性微分方程的通解公式，计算过程完整，得到了与标准答案一致的结果 \(y = x - 1 + Ce^{-x}\)。虽然第一次识别结果中积分符号写法略有不同（如 \(\int f(x)e^x dx\) 未写积分变量），但核心逻辑正确。根据禁止扣分原则，不扣分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确写出通解形式 \(y = e^{-x}(\int f(x)e^x dx + C_1)\)，并利用周期条件 \(f(x+T)=f(x)\) 计算 \(y(x+T)\)。但在推导周期解时存在逻辑错误：

• 学生直接令 \(y(x+T)=y(x)\) 得到 \(C_1e^{-T} = C_1\)，并得出 \(C_1=0\)
• 标准答案中通过令 \(y(x+T)=y(x)\) 得到 \((\int_0^T f(t)e^t dt + C)e^{-T} = C\)，解得 \(C = \frac{\int_0^T f(t)e^t dt}{e^T-1}\)
• 学生的错误在于没有考虑积分上下限的变化，直接比较系数导致错误结论
• 虽然最终结论"存在唯一周期解"正确，但具体解的形式和推导过程有误

由于存在明显的逻辑错误，扣除3分。

得分：2分

题目总分：5+2=7分