评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生证明了数列单调递减，这部分论证正确：通过比较 \(a_n - a_{n-1}\) 的积分，利用 \(x \in (0,1)\) 时 \(x^n < x^{n-1}\)，得出积分小于0，从而 \(a_n < a_{n-1}\)，逻辑清晰，得2分。

在证明递推关系 \(a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}\) 时，学生使用了代换 \(x = \cos \theta\)，但积分上下限处理有误（应为 \(\theta\) 从 0 到 \(\pi/2\)，但学生写为从 \(\pi/2\) 到 0，未调整符号），且后续推导中出现错误表达式如 \(1 - \frac{n}{n-1}\)（分母为0），导致逻辑错误，扣2分。

递推关系部分得1分（因思路正确但执行错误）。

本部分总分：2（单调性）+ 1（递推关系）= 3分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确指出 \(a_n > 0\) 且单调递减，故数列收敛，得1分。

在计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\) 时，学生尝试分奇偶讨论，但推导过程混乱：

• 对于偶数 \(n\)，学生给出的极限表达式 \(\frac{1}{4} \frac{a_0}{a_1} = \frac{3\pi}{16}\) 错误（标准答案为 \(\frac{\pi}{2}\)）。
• 对于奇数 \(n\)，学生直接给出 \(\frac{a_1}{a_0} = \frac{4}{3\pi}\)，但未正确推导极限，且结果错误（标准答案为 \(\frac{2}{\pi}\)）。

极限计算部分存在严重逻辑错误，扣3分。

本部分总分：1（收敛性）+ 0（极限计算）= 1分。

题目总分：3+1=4分