评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题要求计算形心坐标 \((\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\)。学生的作答中：

• 对于 \(\bar{x}\)：正确得出 \(\bar{x} = 0\)，因为积分区域关于 \(x=0\) 对称且被积函数 \(x\) 是奇函数，得满分。
• 对于 \(\bar{z}\)：计算 \(\iiint_{\Omega} z \, dv = \frac{\pi}{12}\) 和 \(\iiint_{\Omega} 1 \, dv = \frac{\pi}{3}\) 正确，从而 \(\bar{z} = \frac{1}{4}\) 正确，得满分。
• 对于 \(\bar{y}\)：学生在计算 \(\iiint_{\Omega} y \, dv\) 时，错误地使用了变量替换 \(y = r\sin\theta + z\)，但忽略了该替换下积分区域应为 \(x^2 + (y - z)^2 \leq (1 - z)^2\)，即 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta + z\)，其中 \(r \in [0, 1-z], \theta \in [0, 2\pi]\)。然而，学生在计算 \(\iiint y \, dv\) 时，写为 \(\int_0^1 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{1-z} (r\sin\theta + z) r \, dr\)，并正确指出 \(\int_0^{2\pi} \sin\theta \, d\theta = 0\)，因此积分简化为 \(\int_0^1 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{1-z} z r \, dr = \frac{\pi}{12}\)。但标准答案中 \(\iiint y \, dv = \frac{2\pi}{3}\)，学生的计算错误在于：在变量替换 \(y = r\sin\theta + z\) 下，\(\iiint y \, dv = \int_0^1 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{1-z} (r\sin\theta + z) r \, dr\)，其中 \(\int_0^{2\pi} r\sin\theta \,...