评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答存在以下问题：

• 在极坐标变换中，将圆的方程 \(x^2+(y-2)^2=4\) 转化为极坐标时，正确结果应为 \(r=4\sin\theta\)，但学生在第一次识别中写成了 \(r=2\sin\theta\)，第二次识别中正确写为 \(r=4\sin\theta\)。根据禁止扣分规则第3条，只要有一次正确就不扣分，因此不扣分。
• 在利用对称性时，学生正确识别了区域关于 \(y=x\) 对称，并将积分转化为2倍在 \(D_1\) 上的积分，思路正确。
• 在极坐标积分表达式中，学生写为 \(\int_0^{\pi/4}d\theta\int_0^{2\sin\theta} r^2(\cos\theta-\sin\theta)^2 r dr\)，这里上限 \(2\sin\theta\) 是错误的，应为 \(4\sin\theta\)。但根据上下文，后续计算中实际使用了 \((2\sin\theta)^4\)，即 \(16\sin^4\theta\)，这与 \(r=4\sin\theta\) 时 \(r^4=256\sin^4\theta\) 不符，表明学生实际采用了 \(r=2\sin\theta\) 的错误假设。这是一个逻辑错误，导致后续计算全部错误。
• 在计算积分时，学生将 \((\cos\theta-\sin\theta)^2\) 展开为 \(\cos^2\theta\sin^4\theta - 2\sin^5\theta\cos\theta + \sin^6\theta\)，这是错误的展开，正确应为 \((\cos\theta-\sin\theta)^2 = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta = 1 - \sin2\theta\)。这一错误导致被积函数复杂化，且后续计算基于此错误展开，属于逻辑错误。
• 在积分计算过程中，学生尝试使用三角恒等式和降幂公式，但步骤混乱，最终结果 \(\frac{3\pi}{2}+\frac{11}{3}\) 与标准答案 \(12\pi-\frac{16}{3}\) 不符。

扣分情况：

• 极坐标上限错误（逻辑错误）：扣2分
• 被积函数展开错误（逻辑错误）：扣2分
• 计算过程错误导致...