评分及理由

（1）收敛域部分得分及理由（满分3分）

学生正确计算了收敛半径R=1，并验证了端点x=±1处级数发散，从而得出收敛域为(-1,1)。这部分与标准答案一致，思路正确，计算无误。得3分。

（2）和函数部分得分及理由（满分7分）

学生在第一次识别中出现了严重的逻辑错误，错误地引入了三角函数，且推导过程混乱。但在第二次识别中，学生正确地将通项拆分为(2n+1)+2/(2n+1)，并分别求和：

• 正确求出∑(2n+1)x²ⁿ = (1+x²)/(1-x²)²
• 正确求出∑x²ⁿ/(2n+1) = (1/x)·(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]（x≠0）

但在x=0处的处理存在错误：学生得出S(0)=3，而标准答案为S(0)=1。这是因为当x=0时，原级数只有n=0项不为零，该项值为3/(2×0+1)=3，但学生忽略了拆分后的两个级数在x=0处的取值：

• ∑(2n+1)x²ⁿ在x=0时值为1
• 2∑x²ⁿ/(2n+1)在x=0时值为2×1=2
• 总和应为1+2=3，但标准答案为1

检查标准答案发现，标准答案中当x=0时和函数为1，这可能是标准答案有误。根据计算，x=0时确实应为3。因此学生的这个"错误"实际上是正确的。

扣除1分，因为第一次识别部分存在严重逻辑错误，且整体表达不够清晰。得6分。

题目总分：3+6=9分