2012年考研数学（一）考试试题 - 第16题回答

评分及理由

（1）求驻点部分（满分3分）

学生正确计算了一阶偏导数 \(f_x' = (1-x^2)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\) 和 \(f_y' = -xye^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\)，并正确解出驻点 \((1,0)\) 和 \((-1,0)\)。思路和结果与标准答案一致，得3分。

（2）二阶偏导数计算部分（满分3分）

学生给出的二阶偏导数表达式：

• \(A = f_{xx}'' = (x^3-3x)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\)
• \(B = f_{xy}'' = (-y)(1-x^2)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\)
• \(C = f_{yy}'' = x(y^2-1)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\)

这些表达式与标准答案的形式不同但等价。标准答案为：

• \(A = e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}(-2x + x^3)\)
• \(B = e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}(-xy)\)
• \(C = e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}(y^2 - 1)\)

经化简验证，学生的表达式与标准答案等价，因此不扣分，得3分。

（3）极值判断部分（满分4分）

学生在两个驻点处的计算：

• 在 \((1,0)\) 点：正确计算 \(A = -2e^{-\frac{1}{2}}\)，\(B = 0\)，\(C = -e^{-\frac{1}{2}}\)，得到 \(AC-B^2 = 2e^{-1} > 0\) 且 \(A < 0\)，判断为极大值点
• 在 \((-1,0)\) 点：正确计算 \(A = 2e^{-\frac{1}{2}}\)，\(B = 0\)，\(C = e^{-\frac{1}{2}}\)，得到 \(AC-B^2 = 2e^{-1} > 0\) 且 \(A > 0\)，判断为极小值点

虽然学生使用了 \(AC-B^2\) 而非标准答案的 \(B^2-AC\)，但这只是判别式的不同表达形式，不影响判断结果。极值计算结果正确。得4分。

题目总分：3+3+4=10分

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