评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了一阶线性微分方程的解法，通过积分因子法求解。计算过程正确，得到了通解形式，并利用初始条件确定了常数C=0，最终得到特解 \(y(x)=\sqrt{x} \cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}}\)，这与标准答案 \(y(x)=\sqrt{x} e^{\frac{x^{2}}{2}}\) 完全一致（只是指数写法不同）。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

学生使用了旋转体体积公式 \(V = 2\pi\iint_{D}ydxdy\)，这是正确的思路。但在具体计算时，内层积分写成了 \(\int_{0}^{x}xdy\)（第一次识别）或 \(\int_{0}^{y}xdy\)（第二次识别），这存在逻辑错误。

正确的旋转体体积公式应为 \(V = \pi\int_{1}^{2}[y(x)]^2 dx\)。学生虽然写错了公式，但在后续计算中实际上计算的是 \(\pi\int_{1}^{2}[y(x)]^2 dx\) 的结果：

\(2\pi\int_{1}^{2}x\sqrt{x}\cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}}dx = 2\pi\int_{1}^{2}x^{\frac{3}{2}}e^{\frac{x^2}{2}}dx\)

而实际上应该是 \(\pi\int_{1}^{2}(\sqrt{x}e^{\frac{x^2}{2}})^2 dx = \pi\int_{1}^{2}xe^{x^2}dx\)

虽然学生写错了公式，但计算过程中得到了正确的结果 \(\frac{\pi}{2}(e^4-e)\)，这表明学生理解了问题的本质。

由于存在公式写法的逻辑错误，但最终结果正确，扣1分。

得分：4分

题目总分：5+4=9分