评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，对于第(I)问的证明存在以下问题：

• 学生正确使用了拉格朗日中值定理得到 \(|x_{n+1}-x_n| = |f'(\xi)||x_n-x_{n-1}|\)，并利用 \(0 < f'(x) < \frac{1}{2}\) 得到 \(|x_{n+1}-x_n| < \frac{1}{2}|x_n-x_{n-1}|\)，这是正确的思路。
• 但学生后续推导 \(x_{n+1}-x_n = (x_2-x_1)f'(\delta_1)\cdots f'(\delta_{n-1})\) 后，直接讨论 \(\lim_{n\to\infty}|x_{n+1}-x_n| = 0\)，这只能说明通项趋于0，不能证明级数绝对收敛。级数绝对收敛需要证明部分和序列收敛或通过比较判别法，学生此处逻辑不完整。
• 学生最后断言 \(\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n) = x_{n+1}-x_1\) 绝对收敛，这是错误的，因为部分和是 \(x_{n+1}-x_1\)，但级数收敛需要极限存在，学生未证明极限存在。

因此，第(I)问证明不完整，存在逻辑错误，扣2分。得分：3分。

（2）得分及理由（满分5分）

对于第(II)问：

• 学生未给出 \(\lim_{n\to\infty} x_n\) 存在的证明。标准答案中利用级数收敛推得极限存在，学生未涉及。
• 学生未证明 \(0 < \lim_{n\to\infty} x_n < 2\)，仅重复了 \(\lim_{n\to\infty}|x_{n+1}-x_n| = 0\)，这与极限存在性和范围无关。
• 因此，第(II)问证明完全缺失，得0分。

得分：0分。

题目总分：3+0=3分