评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案中，对于第(I)问的证明存在逻辑错误。在计算S''(x)时，学生写的是：

S''(x) = ∑n(n-1)aₙxⁿ⁻² = ∑aₙ₋₂xⁿ⁻²

然后直接得出 S''(x) = ∑aₙxⁿ

这个推导过程是错误的，因为从∑aₙ₋₂xⁿ⁻²到∑aₙxⁿ的变换没有合理的数学依据。正确的做法应该像标准答案那样，通过指标变换得到∑(n+2)(n+1)aₙ₊₂xⁿ，然后利用递推关系证明系数为0。

虽然最终结论S''(x)-S(x)=0是正确的，但证明过程存在严重逻辑错误。

扣分：由于证明过程存在根本性逻辑错误，给2分（满分5分）。

（2）得分及理由（满分5分）

对于第(II)问，学生正确：

1. 根据微分方程S''(x)-S(x)=0写出特征方程r²-1=0

2. 正确写出通解形式S(x)=C₁eˣ+C₂e⁻ˣ

3. 正确利用初始条件S(0)=a₀=3和S'(0)=a₁=1建立方程组

4. 正确解出系数C₁=2，C₂=1

5. 最终答案S(x)=2eˣ+e⁻ˣ与标准答案一致（只是C₁、C₂的分配与标准答案交换，但表达式等价）

虽然第(I)问的证明有误，但第(II)问的求解过程完整且正确。

得分：5分（满分5分）

题目总分：2+5=7分