评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生答案为 \(\sqrt{2}-2\)，而标准答案为 \(-\sqrt{2}\)。通过计算验证：

• 由参数方程 \(x=\sqrt{t^2+1}\)，\(y=\ln(t+\sqrt{t^2+1})\) 可得 \(y=\operatorname{arsinh}t\)，因此 \(\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\)，\(\frac{dx}{dt}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\)。
• 一阶导数 \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{1}{t}\)。
• 二阶导数 \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{t}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)\cdot\frac{dt}{dx}=-\frac{1}{t^2}\cdot\frac{1}{dx/dt}=-\frac{1}{t^2}\cdot\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}\)。
• 代入 \(t=1\) 得 \(\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=1}=-\frac{1}{1}\cdot\frac{\sqrt{2}}{1}=-\sqrt{2}\)。

学生答案 \(\sqrt{2}-2\) 与标准答案 \(-\sqrt{2}\) 在数值上不相等（\(\sqrt{2}-2 \approx -0.586\)，\(-\sqrt{2} \approx -1.414\)），存在明显的计算错误。由于核心计算结果错误，本题得0分。

题目总分：0分