评分及理由

（1）证明收敛部分得分及理由（满分5分）

学生正确计算了收敛半径：由递推关系得到 \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}\)，进而求得极限为1，得到收敛半径 \(R=1\)，从而得出当 \(|x|<1\) 时幂级数收敛。这一部分思路和计算完全正确。

得分：5分

（2）求和函数部分得分及理由（满分5分）

学生在这一部分出现了严重错误。在尝试构造和函数关系时，写出了错误的表达式 \(\sum a_n x^n = \sum \frac{n-2}{n} a_n x^n\)（第二次识别结果）或类似形式。这既不符合题目给出的递推关系，也没有建立正确的微分方程，导致后续求解完全无法进行。

这一部分没有正确的解题思路，也没有得到任何有效进展。

得分：0分

题目总分：5+0=5分